ChazyChazFan schrieb:
Hallo! Ich habe folgende SAchen in Mathe auf:
Bestimme den Term der ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph bei -2 die x-Achse schneidet und bei 0 eine Wendestelle hat. Die Wendetangente dort ist Graph der Funktion t mit
t(x)=1/3x+2
Ich hab bis jetzt folgendes:
f(x)= ax³+bx²+cx+d
dann hab ich die erste Ableitung gebildet:
f '(x)=3ax²+2bx+c
mehr hab ich nicht. Die Aufgaben vorher die wir gemacht haben, waren immer anders gestellt und jetzt bin ich wieder total verwirrt.
also zur ersten Aufgabe:
f(x)= ax^3+bx2 +cx+d (Dieses ^ soll "hoch" heißen)
Die erste Info ist, dass die Wendestelle bei 0 ist.Die notwendige Bedingung für ne
Wendestelle ist ja f''(x)=0. Dh. die zweite Ableitung muss 0 sein für x=0 (f'(0)=0).
Also erstmal die zweite Ableitung bilden:
f'(x)=3ax²+2bx+c (war doch ein guter Ansatz von dir)
f''(x)= 6ax+2b
Einsetzen:
0= 6a*0+2b
0=2b
b=0
Fehlen noch a, c und d
(Zwischenstand: f(x)=ax³+cx+d)
Nächste Info: An dem Wendepunkt gibt es eine Tangente mit der Gleichung: t(x)=1/3x+2
Tangente heißt ja, das diese Funktion t in dem Punkt, in dem sie unsere ganzrationale Funktion berührt ( in diesem Fall ist es unser Wendepunkt mit x=0), dieselbe Steigung hat. Die Steigung ist die erste Ableitung, das heißt f'(0) muss gleich 1/3 sein, weil das die Steigung der Tangente ist.
Einsetzen:
f '(x)=3ax²+2bx+c ; b=0 (haben wir ja grad rausgefunden) => f'(x)=3ax²+c
f'(0)=1/3
3a*0²+c=1/3
c= 1/3
(Zwischenstand: f(x)=ax³+1/3x+d)
Die zweite Info,die uns die Tangente liefert, ist, dass sie den Punkt, an dem sie berührt, komplett mit f gemeinsam hat, das heißt an dieser Stelle muss f(x)=t(x) sein => f(0)=t(0). (Denn der Punkt, in dem sie berührt, ist unser Wendepunkt mit x=0)
f(x)=ax³+1/3x+d
t(x)=1/3x+2
Gleichsetzen für x=0:
a*0³+1/3*0+d=1/3*0+2
0+d=0+2 <=> d=2
Jetzt weißt du ja, dass der Graph "x-Achse bei -2 schneidet" => bei x=-2 ist y=0
Einsetzen:
0= a*(-2)³+1/3*(-2)+2
0= -8a-2*1/3+2
0=-8a-2/3+2 |
"-2/3+2" ist dasselbe wie "+2-2/3" und das ist +4/3
0=-8a+4/3
-4/3= -8a |
durch -8
a=1/6
=>
f(x)=1/6x³+1/3x+2
so...hoffe, jetzt nur, dass ich mich nicht verrechnet hab um die Uhrzeit^^
@JeWnS: An einem Wendepunkt geht eine Linkskurve in eine Rechtskurve über und umgekehrt. Ein Hoch/-Tiefpunkt ist erstmal ein lokales Maximum/Minimum, man kann aber auch absolute Extremstellen berechnen.
EDIT:
ChazyChazFan schrieb:
Und die zweite Aufgabe ist:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-Achse bei -2 und 3 und hat den Hochpunkt H(0/7,2). Ermittel den Funktionsterm.
Also da würd ich so anfangen:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
So zur zweiten Aufgabe:
"Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-Achse bei -2 und 3 und hat den Hochpunkt H(0/7,2). Ermittel den Funktionsterm."
Allgemeine Info: Es ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades =>f(x)=ax³+bx²+cx+d (hattest du ja auch schon richtig)
1. Info: Der Graph scheidet die x-Achse bei -2 und 3 => -2 und 3 sind Nullstellen => f(-2)=0 und f(3)=0
2.Info: Die Funktion hat den Hochpunkt H(0/7,2)
=> f (0)=7,2
f'(0)=0
( f''(0) < 0)
Fangen wir mit Info 2 an, das ist einfacher:
-f (0)=7,2
Einsetzen:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f(0)=a*0³+b*0²+c*0+d=7,2
a*0+b*0+c*0+d=7,2
0+d=7,2
d=7,2
(Zwischenstand: f(x)=ax³+bx²+cx+7,2)
-f'(0)=0
Erste Ableitung bilden:
f'(x)= 3ax²+bx+c
f'(0)=3a*0²+b*0+c=0
c=0
(Zwischenstand: f(x)=ax³+bx²+7,2)
Jetzt zur 1. Info:
f(-2)=0
f(x)=ax³+bx²+7,2
Nullstelle einsetzen:
0= a(-2)³+b(-2)²+7,2
0=-8a+4b+7,2
8a=4b+7,2
a=1/2b+0,9
=>Wir können jetzt a durch b ausdrücken
und f(3)=0
f(x)=f(x)=ax³+bx²+7,2 |
Das Ergebnis von oben einsetzen (a=1/2b+0,9)
f(x)=(1/2b+0,9)x³+bx²+7,2
Nullstelle einsetzen:
0=(1/2b+0,9)*3³+b*3²+7,2
0=(1/2b+0,9)*27+b*9+7,2
0=1/2*b*27+0,9*27+9b+7,2
0=13,5b+9b+24,3+7,2
0=22,5b+31,5
22,5b=-31,5 |
durch 22,5 oder 45/2 teilen
b=7/5=14/10=1,4
a=1/2b+0,9
a=1/2*7/5+0,9
a=7/10+9/10
a=16/10=1,6
=>
f(x)=1,6x³+1,4x²+7,2
.
) jetzt haben wir schon mal a, x, und h. um s zu berechnen brauchen wir jetzt noch mal den satz von pytagoras und zwar: s²(ich hab grad entdeckt, wie man hochzahlen machen kann: Alt und 2 (gut, ne? 
aber sonst ist alles gleich, hmm.