Rechner für große Zahlen

[Mainzel]

Kennt jemand einen rechner (Software) für den Computer mit den man wirklich große Zahlen rechnen kann, meine aufgaben sins sehr groß, alle anderen rechner haben entweder infinite geschrieben oder sind abgestürtzt bei der Aufgabe:
32000000^(1024*768)
Mir dieser vermeindlich einfachen Rechnung kann man ausrechnen, wieviele verschiedene Bilder ein 1024*768 Bildschirm überhaupt darstellen kann.

 

[marzel]

Ähm wie meinst du das "wieviele Bilder ein Bildschirm darstellen kann" ? Der kann so ziemlich jedes Bild anzeigen. Und abgesehen davon, unabhänig davon ob die Rechnung jetzt Stimmt, kann man das ganze auch anders berechnen indem die rechnung ma ohne Nullen eintippst.
Also: erst 1024*768 un dann davon alle Nullen abgestrichen, genausoviele Nullen bei der anderen Zahl wegstreichen, ausrechnen, dann mehr nullen ergänzen. Guck einfach mal ins Tafelwerk
Das Ergebnis ist dann rund 15450000000000, wenn ich mich nich verrechnet hab. Und was bringt dir das jetzt?

 

[Hoschi]

Versuche mal Calcant http://www.sfr-software.de/cms/DE/windows/calcant/

 

[PoohBear]

Kennt jemand einen rechner (Software) für den Computer mit den man wirklich große Zahlen rechnen kann, meine aufgaben sins sehr groß, alle anderen rechner haben entweder infinite geschrieben oder sind abgestürtzt bei der Aufgabe:
32000000^(1024*768)
Mir dieser vermeindlich einfachen Rechnung kann man ausrechnen, wieviele verschiedene Bilder ein 1024*768 Bildschirm überhaupt darstellen kann.

Den Ansatz verstehe ich nicht.

Ein 1024*768 Bild = 786432 Pixel. Dann kommt es auf die Farbtiefe an. Ein Schwarz-Weiß-Bild (1-Bit) hat damit ca. (786432*786431 / 2!) Möglichkeiten einen Zustand (zwischen nur schwarz oder nur weiß) anzunehmen.

Bei einem 24-Bit (16,7 Mio Farben) wird die Berechnung noch etwas komplexer.
(786432*786431* ... * 786408 / 24! )

doof das man hier keine Formeln darstellen kann

PoohBear

 

[DodotheGoof]

ist das dann
(786432!-(786432-24)!)/24!

 

[Pink Panther]

Wenn ich die Rechnung richtig verstanden habe, dann würde der Windows- Rechner reichen...

 

[PoohBear]

ist das dann
(786432!-(786432-24)!)/24!

Erklär du dann bitte einem 12jährigen , was das "!" nach einer Zahl bedeutet.

PoohBear

 

[DodotheGoof]

! bedeutet Fakultät und mathematisch bedeutet es folgendes:
1! = 1
2!=1*2
3!=1*2*3
4!=1*2*3*4
usw.
Eine Besonderheit ist 0!, es wird als 0!=1 definiert.

 

[Leam]

Wobei ich 0!=1 immer noch als logisch strittig betrachte. Aber gut das ich von der Mathematik weg bin

 

[PoohBear]

Wobei ich 0!=1 immer noch als logisch strittig betrachte. Aber gut das ich von der Mathematik weg bin

Definition ist Definition. Hat reichlich wenig mit Logik zu tun.

Ansonsten für einen schlüssigen Beweis, dass eine Defintion nicht gültig ist.

@Dodo
Danke. Aber insgesamt übersteigt die Aufgabe den Zahlenraum, den ein 12jähriger erfassen kann. In Thüringen sollen Viertklässer mit dem Zahlenraum bis 1 Million vertraut sein.

PoohBear

 

[Stolloss]

Den Windows-Taschenrechner überfordert es auch.

 

[DodotheGoof]

@Dodo
Danke. Aber insgesamt übersteigt die Aufgabe den Zahlenraum, den ein 12jähriger erfassen kann. In Thüringen sollen Viertklässer mit dem Zahlenraum bis 1 Million vertraut sein.

PoohBear

Als 12jähriger ist man schon in der 6. Klasse. Kann sein, dass man bis dahin schon Fakultät gelernt hat.

 

[Mainzel]

Fakultäten hatten wir nicht in der Schule, aber woahders hab ich das mal gelernt.

 

[Annie_Justine]

Fakulität? Lol bin bald 11. Klasse und kenn das nicht..... :S
Ansonsten würd ich das ebenflls mit den Nullen wegstreichen machen, das is der billigste Trick aus der Schulzeit.

 

[DodotheGoof]

Noch keine Wahrscheinlichkeitsrechnung gehabt?

 

[Liz101a]

Ich bin auch bald in der 11 und hatte Fakultät noch nicht, aber scheint ja nicht so kompliziert zu sein. (also nur das Fakultät an sich... die Rechnung drumherum schon)

 

[kathascha2]

Ich bin grade in der Zwölften und wir haben erst mit dem Wahrscheinlichkeitsmist angefangen... Und den halte ich für den unmenschlichsten Kram, den ich jemals in meiner gesamten Mathekarriere machen musste...

 

[Willow]

Lol? Ich musste den Kram schon in der 10. durchmachen. Und so~ schwer find ich es nicht, wenn man jemanden hat, der das vernünftig erklären kann,

 

[kathascha2]

ich finde es einfach nur unnötig die wahrscheinlichkeit eines sechser im lottos ausrechnen zu können. die wahrscheinlichkeit, dass ich damit im täglichen leben weiter komme geht nämlich gegen null... die wahrscheinlichkeit, dass ich mathe jemals als pflichtfach demütig akzeptieren werde ist sehhhhhhhhhhrrrrrrrr gering. und der abschaffung der trennung leistungskurs/grundkurs, die zur folge die einführung von leistungskurs mathe für alle nach sich zog, werde ich sehr wahrscheinlich NIEMALS zu schätzen wissen.

 

[kardano]

Also, bei 32Bit pro Pixel und einer Auflösung von 1024*768 (=786432) Pixeln gilt:

Jedes Pixel kann eine von 2^32 (=4294967296) möglichen Farben darstellen. Da jedes Pixel als unabhängig gelten kann, ergeben sich 4294967296^786432 mögliche Belegungen.

Das sind mehr als 4*10^9 ^ 7*10^5, was unglaublich viel größer ist als (10^9) ^ (10^5), was 10^900000, also eine Zahl mit 900000 Nullen, ergibt.
Dieses "unglaublich viel größer" ergibt sich z.B. aus den 4^700000, was nochmal für hunderttausende Stellen sorgt.

Also, selbst ein Supercomputer dürfte dafür ne ganze Weile brauchen, oder?

Hoffe, ich hab mich mit den Potenzgesetzen und den ganzen großen Zahlen nicht vertan. Ist ja schon spät...

 

[Angelskiss]

ohje...also sowas uebersteigt meinen horizont... ^^ und ich hab jetzt 13 jahre gemacht und nichts von wahrscheinlichkeitsrechnung oder fakultaet gehoert...was ist das, kann man das essen? scherz nee, aber mal im ernst, was kann man mit diesen beiden rechen"arten"(?) denn so schoenes anfangen? interessiert mich wirklich.

 

[Leam]

Sekunde... 13 Jahre und du hattest weder Wahrscheinlichkeitsrechnung, noch Fakultäten? Oh ja, Föderalismus ist was super tolles - sollte unterstützt werden.

 

[kardano]

13 Jahre ohne Wahscheinlichkeitsrechnung und ohne je das Wort "Fakultät"? Manchmal mach ich mir echt Sorgen um die Schulbildung in diesem Land. Meine Frau hatte z.B. nie Prozentrechnung und in der Ausbildung kam das natürlich ran (sollte ja auch jeder mal gehört haben). Manchmal kann man sich bei der Bildungspolitik nur noch an den Kopf fassen.

@angelkiss: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik) betrachtet Zufallsexperimente und besagt, welche Ereignisse wie häufig vorkommen etc. Also Würfeln, Münzwurf, Lotto, Poker, Glückspiele etc.
Es wird z.B. bestimmt, was am häufigsten auftritt, wieviel Geld man beim Lotto/Poker/Roulette etc. wohl aller Wahrscheinlichkeit nach gewinnt usw. Später bretrachtet man auch Fehleranalysen, Verteilungen in Statistiken etc.

Die Fakultät bestimmt die Anzahl von Reihenfolgen für eine bestimmte Anzahl von Dingen. Wenn du einen Apfel, eine Birne und einen Pfirsich hast, hast du 3 Objekte und demnach 3! (3! = 1*2*3 = 6) Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge du diese essen möchtest. Hier also ABP, APB, BAP, BPA, PAB und PBA.
Wenn du 10 Objekte hast, hast du 10 Optionen für das Erste, 9 für das Zweite, 8 für das Dritte ..... macht also 10*9*8*..*2*1 = 10! = 3628800 mögliche Reihenfolgen.

Fakultät kommt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr häufig vor. So ist es beim Lotto ja egal, ob erst die 23, dann die 37 und dann die 12 gezogen wird, oder erst die 12, dann die 23 und danach erst die 37. Oder erst die 37 und dann ....... Bei 6 gezogenen Zahlen gibts also 6! =720 Möglichkeiten diese zu ziehen. Alle 720 Möglichkeiten ergeben auf dem Lottoschein denselben Tipp und müssen daher wie ein und dasselbe Ergebnis betrachtet werden.
Beim Lotto (6 aus 49) gibt es also 49*48*47*46*45*44 (etwa 10Mrd) Möglichkeiten, 6 Zahlen zu ziehen. Da aber 1,2,3,4,5,6 das gleiche Ergebnis ergibt wie 5,3,6,2,4,1 oder 2,4,6,5,1,3 usw. muss man diese Zahl noch durch 6! (= 720) teilen und erhält 13983816. Die Chance auf einen Sechser im Lotto ist also etwa 1:14Mio.



EDIT: Um nochmal auf die Sache mit den Pixeln zu kommen:

Andere Herangehensweise: Ein Monitorbild bestehend aus 1024*768 Pixeln mit jeweils 32Bit kann man ja als eine Sammlung von 32*1024*768 = 25165824 Bits ansehen. Daher gibt es 2^25165824 mögliche Bilder. Das ist eine Zahl mit etwa 7,5Mio Stellen. Wer bringt ein genaueres Ergebnis?

 

[Angelskiss]

@ kardano: vielen lieben dank fuer diese erklaerung, jetzt bin ich um einiges schlauer!

und zu meiner eigenen verteidigung: ich habe in drei jahren das fachabi und eine ausbildung gemacht, womoeglich lag es daran, dass ich nie etwas ueber fakultaet und wahrscheinlichkeitsrechnung gehoert habe, da ich mich mit kurvendiskussion, kosten-erloes-gewinn, tilgungsrechnung etc beschaeftigt habe.

 

[kardano]

Wahrscheinlichkeiten und Fakultäten hatten wir früher weit vor der 10. Klasse. Selbst mit Fachabi wär ich damals nicht drumrumgekommen.

Heutzutage haben alle Abi, aber bei allem, was über die Grundrechenarten hinausgeht, hat die Hälfte nie was von gehört.

 

[Stolloss]

Andere Herangehensweise: Ein Monitorbild bestehend aus 1024*768 Pixeln mit jeweils 32Bit kann man ja als eine Sammlung von 32*1024*768 = 25165824 Bits ansehen. Daher gibt es 2^25165824 mögliche Bilder. Das ist eine Zahl mit etwa 7,5Mio Stellen. Wer bringt ein genaueres Ergebnis?

Wie komt das 2^25165824 zu stande?

 

[kardano]

Bei 25Mio Bits gibt es 2^25Mio mögliche Belegungen.

 

[Stolloss]

Achja, Bits...

 

[Angelskiss]

nja, ich weiß nicht, also bei uns wurds halt ned durchgenommen. wahrscheinlich, weil ich das fuer meinen beruf auch nicht brauche...

trotzdem find ichs komisch, weil ich bei uns zuhause des oefteren gemerkt habe, dass den schuelern in einem bestimmten alter von z.b. 16 in der heutigen zeit mehr abverlangt wird, als den aelteren semestern, damals, als sie 16 waren. ich sehs ja bei meinem papa z.b., der hat richtiges abi gemacht und als ich mal fragen hatte bei mathe z.b. konnte er mir da nicht helfen, weil er das thema niemals hatte. keine ahnung.

 

[Somian]

Definition ist Definition. Hat reichlich wenig mit Logik zu tun.

So einfach ist das nicht du kannst in der Mathematik nicht einfach etwas festlegen, ohne dabei mathematisch die halbe Welt auf den Kopf zu stellen. Es wird schon seinen (komplexen) Grund haben, dass 0!=1 ist, genauso, wie die Regel, dass etwas hoch null (0) gleich eins ist...

 

[marzel]

Aber:
1!=1
2!=2*1=2
dann wäre doch aber 0! nicht möglich oder? Jetzt mal rein logisch gesehen.

 

[kardano]

0! = 1:

Bei n Objekten, von denen k eine bestimmte Eienschaft haben und n-k nicht, gibt es (n über k) mögliche Reihenfolgen. So weit, so gut.

Was wenn k = n ist? Wenn alle n Objkekte diese Eigenschaft haben, gibts logischerweise nur eine einzige Reihenfolge.

Rechnerisch: (n über n) = n!/(n!*0!) = 1/0!.
1/0! muss 1 ergeben. Eins durch was ergibt eins? Rischtisch, eins. Also muss 0! gleich 1 sein. Basta!




x^0 = 1:

x^0 = x^(n-n) = x^n / x^n = 1 für alle n und für alle x<> 0. Basta!



EDIT: Noch ein Beweis für 0! = 1:

1! = 1 * 0! (folgt aus n! = n*(n-1)!). Links steht 1, rechts steht 1*0!. Das geht nur, wenn 0! auch 1 ist.

 

[kardano]

Aber:
1!=1
2!=2*1=2
dann wäre doch aber 0! nicht möglich oder? Jetzt mal rein logisch gesehen.

Beispiel:

Bei 8 schwarzen und zwei weißen Kugeln gibt es 10! Reihenfolgen insgesamt, wobei 8! davon jeweils immer gleich aussehen, weil die schwarzen Kugeln untereinander vertauscht wurden.
Vertauscht man auch noch die 2 weißen, sind jedesmal 2! Reihenfolgen davon identisch.
Daher gibt es 10!/8!2! Möglichkeiten insgesamt

Wäre 0! nicht möglich, dürftest du bei 10 Kugeln nicht 10 schwarze Kugeln haben, da du nicht sagen könntest, wieviele Reihenfolgen durch die 0 weißen Kugeln zusammenfallen.

Stattdessen sagt man, dass die 0 weißen Kugeln nix ausmachen und die Anzahl so lassen wie sie ist. Das geht indem man die bisherige Anzahl durch welche Zahl dividiert? Richtig, die 1.

Also, 0! = 1.

Das klingt jetzt bissl blöd, ist aber so.

 

[marzel]

Ich glaub so langsam begreif ich auch diese Unlogik

Wenn ihr einmal dabei seid, gibt es eine einfache Möglichkeit, die Errechnung von Stichproben verständlich zu machen? Sprich ich hab das noch nicht verstanden

 

[Stolloss]

Wieso kann man mit 0! dividieren, aber mit 0 nicht?

 

[Mainzel]

Warscheinlichkeiten hatten wir ansatsweise auch schon, aber nur so ein Würfel und Glücksräder: Warscheinlichkeit für eine 1 auf einem Würfel=1/6 für 2 Einsen nacheinander=1/36. u.s.w., also nur diese einfchen zahlen.

Und das Ziegenproblem.

 

[kardano]

Wieso kann man mit 0! dividieren, aber mit 0 nicht?

Weil 0! ja gleich 1 ist und man durch 1 immer dividieren kann. Statt 0! könnte man also immer 1 schreiben.

Durch 0 selbst kann man nie dividieren, da es sonst einige sinnlose/unlogische/falsche Folgerungen gäbe.

 

[Stolloss]

Ja, ich weiß, Division durch Null hat mehr als eine Lösung. 0/0 = 1 oder 0, je nach Formulierung.
Aber basiert die Begründung, warum 0! als = 1 definiert wurde, nicht darauf, dass 0! als 1 definiert wurde? Würde 0! wenn sie als = 0 definiert wäre, auch solche Ergebnisse liefern?

 

[kardano]

Ja, ich weiß, Division durch Null hat mehr als eine Lösung. 0/0 = 1 oder 0, je nach Formulierung.

0/0 kann alles sein. 0/0 = irgendwas heißt: dieses irgendwas mal 0 ergibt wieder 0. Das ja stimmt immer, egal was wir nehmen.

Ansonsten gilt: Divison durch 0 hat keine Lösung. Würde irgendwas durch 0 eine Zahl ergeben, muss diese Zahl MAL 0 wieder das ursprüngliche irgendwas ergeben. Außer bei 0/0 kommt da immer nur Murks raus.

Aber basiert die Begründung, warum 0! als = 1 definiert wurde, nicht darauf, dass 0! als 1 definiert wurde? Würde 0! wenn sie als = 0 definiert wäre, auch solche Ergebnisse liefern?

0! wurde mit 1 definiert, damit z.B. die Binomialkoeffizienten "n über k" auch funktionieren, wenn ALLE Kugeln schwarz (und somit 0 weiß) sind oder wenn man beim Lotto alle 6 Zahlen richtig (und somit 0 falsch) hat.

0! muss genau der Wert sein, bei dessen Division nix passiert. Und da gibt es nur die 1. Daher wurde 0! mit 1 definiert.

 

[Stolloss]

0/0 kann alles sein. 0/0 = irgendwas heißt: dieses irgendwas mal 0 ergibt wieder 0. Das ja stimmt immer, egal was wir nehmen.

Ansonsten gilt: Divison durch 0 hat keine Lösung. Würde irgendwas durch 0 eine Zahl ergeben, muss diese Zahl MAL 0 wieder das ursprüngliche irgendwas ergeben. Außer bei 0/0 kommt da immer nur Murks raus.

1 : 0 = ∞
∞ · 0 = 0
und nicht
∞ · 0 = 1

und
1 : 0 = 0
0 · 0 = 0
und nicht
0 · 0 = 1

Klar.

0! wurde mit 1 definiert, damit z.B. die Binomialkoeffizienten "n über k" auch funktionieren, wenn ALLE Kugeln schwarz (und somit 0 weiß) sind oder wenn man beim Lotto alle 6 Zahlen richtig (und somit 0 falsch) hat.

0! muss genau der Wert sein, bei dessen Division nix passiert. Und da gibt es nur die 1. Daher wurde 0! mit 1 definiert.

Achso, jetzt verstehe ich. Ich bin manchmal schwer von Begriff, besonders wenn es um Mathe geht.

 

[PoohBear]

Zitat von PoohBear
Definition ist Definition. Hat reichlich wenig mit Logik zu tun.

So einfach ist das nicht du kannst in der Mathematik nicht einfach etwas festlegen, ohne dabei mathematisch die halbe Welt auf den Kopf zu stellen. Es wird schon seinen (komplexen) Grund haben, dass 0!=1 ist, genauso, wie die Regel, dass etwas hoch null (0) gleich eins ist...

Ist aber so, laut Aussage meines Mathe-Profs. Mathematik beruht oft auf Axiomen, Theoremen oder Definitionen, die im ersten Moment durchaus unlogisch erscheinen, aber sehr hilfreich sind, auf der anderen Seite weder bewiesen noch widerlegt sind.

Einstein geht in seiner speziellen Relativitätstheorie auch davon aus, dass kein Objekt sich schneller als Lichtgeschwindigkeit bewegen kann. Der Gegenbeweis fehlt (noch, Quanten- und Astrophysiker haben da inzwischen gewisse Zweifel).

PoohBear