Mathematik

[Diamond]

Zuletzt haben wir im Hausaufgabenthread etwas herumgetüftelt und dabei das ein oder andere interessante gelernt. Dark_Lady hat angeregt, dass wir hierzu vielleicht einen seperaten Thread beginnen sollten. Hier ist er!

Heute bin ich beim Stöbern über etwas anderes interessantes gestolpert:

Möchte sich jemand daran versuchen?

 

[Zora Graves]

Ich könnte mir vorstellen, dass das auch wieder was mit den verschiedenen Unendlichkeiten zu tun hat.
"Repeat to infinity" kann doch gar nicht funktionieren? Beziehungsweise, kann man machen, bringt aber nichts. Wie will man mit den Ecken der weggenommenen Quadrate (die ja nur einen Punkt markieren und keine Fläche beschreiben) jemals auf eine Kreislinie kommen? Ich denke, überhaupt nicht.

Edit: Oder um es anders auszudrücken: Die Quadrate, die man wegnimmt, werden immer zu groß und zu "eckig" sein, um an die Kreislinie heranzukommen. Besteht nicht ein ähnliches Problem bei der Darstellung von Vektorlinien auf Monitoren?

 

[Goonie]

Spoiler

Das Problem nennt sich Manhatten-Metrik, bzw. Taxicab-Geometry. Siehe: http://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry bzw. http://de.wikipedia.org/wiki/Manhattan-Metrik

Die Länge von Liniensequenzen die zusammen ein so eingeknickeltes Viereck beschreiben ist nicht das Selbe, wie die Länge eines Kreises. Es ist schlicht nicht die selbe Form.
Auch wenn man das unendlich lange immer weiter unterteilt und einknickt.. wenn man unendlich nahe rangeht und sich das ansieht, sieht man da Ecken. Sie _bleiben_ da, auch wenn sie klein werden.

 

[Mathe Man]

Das Problem ist eigentlich so ähnlich wie nach der Chaos-Mathematik die Länge der Küstenlinie der britischen Insel gegen Unendlich strebt. Genauso ist es nach dieser Lehre auch möglich in einem Raum mit 1 Meter Kantenlänge einen Körper zu platzieren, dessen Oberfläche gegen Unendlich strebt.

 

[Taurec]

Die Quadratur des Kreises? ^^

 

[Diamond]

Goonie hat schon viel Richtiges gesagt. Die Lösung ist einfach gesagt, dass die Annahme dass man über das "repeat to infinity" am Ende bei einem Kreis landet, nicht stimmt. Egal wie oft man weitere Ecken herausnimmt, man wird zu jedem Zeitpunkt in dieser Form wieder rechte Winkel und Ecken haben, etwas was einem Kreis völlig fremd ist. Man landet nicht bei einem Kreis, sondern bei einem "Infinigon", ein Vieleck mit unendlich vielen Ecken. Man muss nur stark genug reinzoomen, um wieder die Stufen zu sehen.

 

[Banger]

Mich erinnert das gerade an Fraktale und Mandelbrot-Mengen.

 

[Diamond]

Will jemand mitmachen?

 

[Zora Graves]

Ich wollte nur mal eben noch nachfragen, inwiefern meine Antwort nicht richtig war? Für mein Verständnis hab ich das Gleiche geantwortet wie Goonie, er hats aber wahrscheinlich besser ausgedrückt ^^

 

[Diamond]

Ich wollte nur mal eben noch nachfragen, inwiefern meine Antwort nicht richtig war? Für mein Verständnis hab ich das Gleiche geantwortet wie Goonie, er hats aber wahrscheinlich besser ausgedrückt ^^

Es hat aber nichts mit verschiedenen Unendlichkeiten zu tun, aber dein Einwand ist richtig: die Idee dass "repeat to infinity" zu einem Kreis führt ist der Trugschluss.

 

[Diamond]

Angeregt vom Thema der "Überbevölkerung" möchte ich heute ein wenig rund um die Exponentialfunktion schreiben. Woher kommt Sie, welche Eigenschaften trägt sie?

Herkunft
Die Exponentialfunktion ist direkt mit dem exponentiellen Wachstum (und Zerfall, mehr dazu später) verbunden. Sie zeichnet dabei aus, dass Sie umso stärker wächst, je mehr bereits da ist. Mit ihr sind sozusagen alle Dinge verbunden, die sich von selbst vermehren. Typische Beispiele sind entsprechend die Zinseszinsrechnung oder Populationen. Sehen wir uns kurz ein Beispiel an:
Kurt bringt €1.000 auf die Bank. Sie gewährt im pro Jahr 2% Zinsen auf sein Guthaben. Dann gestaltet sich sein Guthaben G(t) wie folgt:
Jahr 0: G(0) = €1.000
Jahr 1: G(1) = €1.020 =€1.000 * 1,02
Jahr 2: G(2) = €1.040,4 = €1.000 * 1,02²
Jahr 3: G(3) = €1.061,208 = €1.000 * 1,03³
usw.
Das Interessante dabei: Auf die Zinsen von Vorjahr werden ebenfalls Zinsen gewährt. Das sieht zunächst nicht nach viel aus. Aber es ist ein sehr starker Effekt. Dazu sollten wir aber erst ein wenig die Exponentialfunktion studieren.

Eigenschaften
Für mich als Mathematiker ist die Exponentialfunktion eine sehr schöne Funktion. Einige der Gründe dafür möchte ich mit euch teilen. Zunächst einmal ist Sie eine Elementarfunktion und einer der einfachsten Bausteine der Mathematik. Wir können mit ihr so ziemlich alles anstellen. Entsprechend bin ich etwas verwundert, dass die meisten im Mathematikunterricht die Exponentialfunktion nicht besonders gerne sehen. Dazu später mehr. Sehen wir uns zunächst kurz ihr Schaubild an:

Sie ist ziemlich leicht zu zeichnen. Links ganz flach, rechts geht's zackig nach oben. Im grünen Bereich passiert nicht viel. Auf der rechten Seite geht's sehr zügig nach oben. Je weiter wir nach links gehen, umso mehr schmiegt sich die Exponentialfunktion an die y-Achse an, der Funktionswert geht beliebig nahe an 0, erreicht sie jedoch nie. Das ist eine wichtige Eigenschaft, die uns gleich helfen wird. Abgeleitet ergibt die Exponentialfunktion wieder sich selbst. Das heißt auch direkt, dass die Exponentialfunktion keine Extremstellen oder Wendestellen hat. Denn dafür müsste die erste bzw. zweite Ableitung gleich Null sein. Das heißt e^x=0. Das passiert aber nie. Entsprechend bleibt auch ihre Krümmung immer gleich. Ziemlich eintönig, oder?

Die Macht der Exponentialfunktion
Hier kommt einer der meist unterschätzten Teile der Exponentialfunktion. Die meisten Menschen haben keine Vorstellung davon, wie rasant die Exponentialfunktion wachsen kann und tut. Alles was ihr dafür geben müssen, ist Zeit. Sehen wir uns wieder das Beispiel von Kurt an, der Geld auf die Bank trägt, und was mit seinem Geld über 20 Jahre passiert:

Das sieht recht ok aus. Nach 20 Jahren sind knapp €1.500 zusammen gekommen. Durchschnittlich pro Jahr €25 Zinsen klingt gut. Aber was passiert, sobald wir einen längeren Zeithorizont wählen? Etwa 100 Jahre? Das hier:

Ich habe den Ausschnitt, den wir uns zuvor angesehen haben, rot eingezeichnet. Wir sehen nun den unbändigen Wachstumswillen der Expontentialfunktion. 100 Jahre reichen aus, um aus €1.000 über €7.000 zu machen, das entspricht €62,50 pro Jahr und liegt eine ganz schöne Güteklasse über dem vorherigen Beispiel. Wir können auch etwas anderes interessantes sehen: Grob alle 35 Jahre verdoppelt sich unser Kapital: Bei 0 sind wir bei 1.000, bei 35 bei 2.000, bei 70 bei 4.000, bei 105 werden wir bei 8.000 sein. Binnen einer Lebensspanne von 70 Jahren, haben wir also eine Vierfachung. Und das bei doch eigentlich harmlosen 2% pro Jahr? Für noch längere Zeithorizonte wird das nur noch krasser und noch krasser. Die vorherigen Schaubilder wieder rot und grün schraffiert:

Nach 210 Jahren sind wir bei €64.000 und einer 64-fachung des Anfangskapitals. Pro Jahr sind durchschnittlich €525 dazu gekommen. Das ist die bezeichnende Eigenschaft der Exponentialfunktion: Gibt ihr genug Zeit, und sie sprengt alle Ketten und wächst schneller als jede andere Funktion der Mathematik. Wenn ich etwa ein Polynom (in der Schule ganzrationale Funktion genannt) ableite, erhalte ich ein neues Polynom, das vom Grad eins kleiner ist. Leite ich lange genug ab, erhalte ich irgendwann ein Polynom vom Grad 0: Auch eine Konstante genannt. Die nochmal abgeleitet ist Null. Erinnern wir uns, dass die Ableitung die Änderungsrate angibt, hat also irgendwann bei einem Polynom das "Wachstum des Wachstums des Wachstums ..." ein Ende weil die "Ableitung der Ableitung der Ableitung ..." verschwindet. Bei der e-Funktion ist das nicht der Fall. Wir können Sie so oft ableiten wie wir wollen: Die Ableitung ist immer e^x. Sie verschwindet niemals.

Warum ist das ein Problem?
Unser Wirtschafts- und Geldsystem ist rund um die Exponentialfunktion gebaut. Und während das für kleinere Zeithorizone bis 20, vielleicht auch mal 40 Jahre brauchbar ist, entwickeln sich bei längeren Zeitspannen zunehmend obiger Effekt. Zeitgleich wird die Reaktionszeit immer kleiner. Während wir bei unserem obigen Beispiel noch am Anfang 35 Jahre benötigten, um zusätzliche €1.000 zu scheffeln, geht dies gegen Ende der 200-Jahre Spanne bereits in weniger als einem Jahr.

Warum eigentlich die eulersche Zahl e?
Was ist so besonders an der? Nun, e ist eine der "heiligen" Zahlen der Mathematik. Mathematiker sind eher selten gläubig, deshalb nennen wir diese Zahlen stattdessen transzendent. Man stösst auf e, wenn man folgende Idee verfolgt:
Anstatt bis zum Jahresende abzuwarten, geht man in der Mitte des Jahres zur Bank, und sagt: "Kohle her, berechnet mir anteilig die Zinsen!" Man kriegt dann €1.010. Anschließend legt man das Geld direkt wieder an. Interessanterweise, erhält man dadurch am Ende des Jahres mehr als die €1.020, die man sonst bekommen würde, nämlich €1.020,20 Warum? Weil die bereits gutgeschriebenen Zinsen nun für das zweite Halbjahr selbst verzinst werden. Man kann das Spielchen so weit treiben, dass man alle 3 Monate, alle 2 Monate, oder sogar jeden Tag die Zinsen gutschreiben lässt. Und tatsächlich erhält man dadurch mehr. Allerdings lässt sich dies nicht beliebig in die Höhe treiben, es gibt eine natürliche Grenze: Und die heißt die eulersche Zahl e. Hier könnt ihr ein wenig mehr dazu lesen, und auch die klassische Definition von e finden.
Die eulersche Zahl ist auch insofern bedeutend, dass man jede Exponentialfunktion, egal zu welcher Basis, zur Basis e schreiben kann:

Mathematiker freut sowas immer sehr. Denn es heißt: "Sobald du verstehst, wie e^x tickt, verstehst du alles der Bauart a^x!"

 

[Banger]

Nur ein Beispiel: Beim Übertakten von Prozessoren verhält sich das mit der Spannung auch etwa exponentiell, die entsprechend zum höheren Takt auch erhöht werden muss. Es wird zwar vermutlich nicht genau drauf passen, aber annähernd. Gegebenfalls hat das dann auch eine andere Bezeichnung, ich hier hier nämlich nicht der Mathematiker bin.

 

[simsimausi1215]

Danke für diesen schönen Beitrag! Wie Exponentialfunktionen funktionieren etc. war mir bereits bekannt, aber du hast das sehr schön dargestellt und erklärt.

Entsprechend bin ich etwas verwundert, dass die meisten im Mathematikunterricht die Exponentialfunktion nicht besonders gerne sehen.

Konnte ich auch nie verstehen. Es war eines meiner Lieblingsthemen im Unterrich. Und ich liebte Beispiele, wo man damit rechnen durfte. Und warum die Textbeispiele zu Wachstum und Zerfall für viele ein Rätsel waren, kann ich heute noch nicht verstehen. Ich liebte sie.

 

[Mathe Man]

Eine weitere schöne Eigenschaft der Exponentialfunktion ist die Gedächtnislosigkeit, in der Stochastik auch mit PASTA-Prinzip bezeichnet. Daher wird sie gerne für die Warteschlangenmodellierung verwendet und mit der Laplace-Transformation erhält man gleich noch ein mächtiges Werkzeug dazu, was viele Berechnungen in der Stochastik erheblich vereinfacht.

 

[Diamond]

Hey

Mein Beitrag rund um Hilbert's Hotel scheint ein wenig Neugier geweckt zu haben, was Unendlich angeht. Entsprechend möchte ich heute ein wenig dazu erzählen. Unendlich ist eng verknüpft mit unserer Vorstellung vom Zählen. Wenn wir zwei Mengen verschiedener Dinge haben, möchten wir oftmals wissen, wieviel jeweils enthalten ist, und oftmals auch, welche denn nun größer ist. Nehmen wir ein einfaches Beispiel. Ihr seid auf einer Party. Dort sind eine größere Menge Leute und ihr fragt euch, ob mehr Jungs (Sausage-Fest!) oder mehr Mädchen (Paradies?) auf der Tanzfläche sind:

Das ist etwas chaotisch, aber kein Problem. Wir stellen uns einfach an den Rand der Tanzfläche und beginnen zu zählen:

1,2,3,4,5,6,7 Mädchen und 1,2,3,4,5,6 Jungs!
Hey, das war einfach. Wahrscheinlich etwas einfacher, wenn die nicht ständig alle durcheinander laufen würden, aber immerhin. Auf einem Festival wird diese Methode wohl schwieriger werden (bei größeren Mengen). Wenn wir lediglich wissen wollen, welche Menge aber nun größer ist, gibt es eine einfache Methode: Wir legen andere Musik auf, zu der man als Paar tanzt. Jeweils ein Mädchen und ein Junge finden sich zum Tanz zusammen (zugunsten der Mathematik vernachlässigen wir an dieser Stelle das ganze Gendering):

Wir sehen, dass ein Mädchen übrig bleibt. Entsprechend ist die Menge der Mädchen größer. Falls niemand übrig bleibt, sind beide Mengen gleich groß! Das ist ziemlich cool, denn es funktioniert für beliebig große Mengen. In der Mathematik nennt man diese 1 zu 1 - Abbildung eine Bijektion. Diese ist das Mittel der Wahl in der Mathematik, um zwei Mengen bezüglich ihrer "Mächtigkeit" zu vergleichen (Mächtigkeit = Anzahl der Elemente in der Menge).

Wir möchten mit dieser Idee nun zwei andere Mengen miteinander vergleichen: Die der natürlichen Zahlen, und die der ganzen Zahlen. Intuitiv würden wohl die meisten sagen: Moment, die ganzen Zahlen sind eindeutig mehr! Schließlich ist jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl aber bei den ganzen Zahlen sind noch die negativen Zahlen mit drin. Der Knackpunkt: beides sind unendlich große Mengen. Und interessanterweise ist die Mächtigkeit der ganzen und der natürlichen Zahlen gleich groß! Warum? Seht euch folgende Bijektion an:

Oben sind die natürlichen Zahlen, darunter die ganzen Zahlen. Wir schaffen es, jeder natürlichen Zahl eine ganze Zahl zuzuordnen! Das sieht etwas verwirrend aus, lässt sich aber leicht aufklären, wenn wir die ganzen Zahlen etwas anders anordnen:

Wir beginnen mit der 0 und ordnen Sie der 1 zu. Dann die 1 der 2, die -1 der 3, dann die 2 der 4, die -2 der 5 und so weiter und so fort. Wir können sogar explizit angeben, welche ganze Zahl welcher natürlichen Zahl zugeordnet wird. Beide Mengen sind unendlich groß, aber dennoch gleich groß. Es ist die kleinste Form von unendlich die wir kennen. Die Mathematiker haben Sie Aleph ℵ_0 getauft. Immer wenn wir zu einer Menge eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen bilden können, hat sie diese Mächtigkeit ℵ_0. Siehe dazu: Kardinalzahl.

Das gleiche Spielchen können wir übrigens auch mit den rationalen Zahlen (Bruchzahlen) machen. Sie sind ebenfalls abzählbar unendlich viele! Dies zeigt man über Cantor's Diagonalargument:

erster Schritt:

zweiter Schritt:

Die erste Menge, die wirklich mehr als die natürlichen Zahlen sind, sind die reellen Zahlen, aber dazu mehr ein ander Mal... Danke für's Lesen .

 

[Diamond]

^_^

 

[Ricki]

Danke für deine tollen Beiträge. Hast du einen Matheblog? Den würde ich gerne abonnieren

Besonders das mit der Bijektion hast du toll erklärt. Da hatte ich Anfangs in Mathe Schwierigkeiten (und mich später gewundert, weil es doch eigentlich einfach ist).

 

[Diamond]

Ich habe leider keinen Blog. Immer wenn mich die Muse küsst, schreibe ich hier ein wenig. Aktuell sammel ich einige Gedanken rund um das Thema wo man in der Schule in Sachen Mathematik "angelogen" wird. Dazu gibt es schöne Dinge mit interessanten: "Stimmt eigentlich... wtf!?"-Momenten.

Falls ihr auch einige Ideen, Anregungen oder Fragen habt, schreibe ich natürlich auch gerne dazu ein wenig etwas .

 

[Ricki]

Schade, einen Blog von dir hätte ich gerne gelesen.

In Mathe hatte ich nur einmal so einen Moment, von wegen "Moment mal, wieso hat man uns das nicht gleich so gesagt?!". Das war, als wir endlich gelernt haben, wie man ableitet und was genau das bedeutet von wegen Wendepunkt und Extrema. Das war ja alles so einfach und einleuchtend. Und vorher haben wir uns mit seltsamen Formeln abgequält, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu berechnen. Das fand ich wirklich total bescheuert...

 

[Diamond]

Die komische Formel war wahrscheinlich die quadratische Ergänzung. Man bringt dabei ein Polynom vom Grad 2 von der Form ax²+bx+c in die Form (x-d)²+e, welche man Scheitelform nennt, weil man diesen direkt ablesen kann. Es mag unsinnig erscheinen, aber man benötigt die quadratische Ergänzung, um die Mitternachtsformel herzuleiten. Ich habs mal aufgeschrieben und abfotografiert, es ist schon etwas spät und geht so fixer als es in Latex zu machen:

quadrat. Ergänzung an einem Beispiel:


Wie man damit zur Mitternachtsformel kommt:

 

[Ricki]

Ja das weiß ich natürlich. Dennoch fand ich es damals, sehr enttäuschend und ärgerlich. Da lagen glaub sogar 3 Schuljahre dazwischen und ich fand das einfach doof. :/

Kann aber auch daran gelegen haben, dass ich zuerst auf der Realschule war und dann erst aufs Gymi kam.

Du hast übrigens voll die tolle Handschrift *.*

 

[Diamond]

Danke für das Kompliment zur Handschrift . Ein ähnliches Beispiel ist fächerübergreifend: Man lernt zunächst in Physik Ort-Zeit-Diagramme zu zeichnen und dann wie die mit dem Geschwindigkeit-Zeit und Beschleunigung-Zeit-Diagramm zusammenhängen. Man rechnet da dann Flächen und Steigungen aus, um die zurückgelegte Strecke oder aktuelle Geschwindigkeit zu bekommen. Ein Jahr später beginnt man dann in Mathematik mit Ableitung/Differentialrechnung. Also genau das Werkzeug, das zu dem Kram in Physik gehört. Man hätte dann in der Physik auch direkt ein schönes, greifbares Beispiel gehabt:
Ableitung = momentane Änderungsrate
momentante Änderungsrate des Orts = Geschwindigkeit
momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit = Beschleunigung

 

[BloodOmen1988]

Huhu

Hey

Mein Beitrag rund um Hilbert's Hotel scheint ein wenig Neugier geweckt zu haben, was Unendlich angeht.

Mich hat er vor allen Dingen Nerven gekostet und Goonie und meinen Paps auch, weil sie stundenlang versucht haben, mir meinen Denkfehler zu erklären. Aber du bist immerhin der erste Mensch, der mich animieren konnte, mich freiwillig mit Mathe zu beschäftigen. Danke dafür

 

[Diamond]

Das freut mich natürlich . Mathe hat so viel Interessantes zu bieten abseits vom Rechnen O

 

[Diamond]

Heute gefunden: Tautochrone Kruve
Vorausgesetzt, dass Luftwiderstand und Reibung zu vernachlässigen sind, gelangt ein frei beweglicher Massepunkt von jedem Startpunkt auf einer umgedrehten Zykloide stets in derselben Zeit an den tiefsten Punkt. Diese Eigenschaft wird auch Tautochronie genannt (Linie gleicher Fallzeit; griechisch ταὐτό tauto dasselbe, χρόνος chronos Zeit)

 

[Ricki]

Ist das cool. Ich folge ja bei tumblr einigen, die solche mathematischen Animationen haben. Die sind aber meist "nur" schön anzuschauen. Das hier finde ich wirklich total spannend.

 

[Diamond]

Zufälle gibt's...

 

[Banger]

Heute gefunden: Tautochrone Kruve
.....

Warum auch immer erinnere ich mich gerade an eine ballistische Kurve, die wir mal in Physik vor rund 4 Jahren hatten.

Wirft man einen Gegenstand im 45°-Winkel weg, hat der die weiteste Landeentfernung. Bei einem steileren Winkel erreicht der Gegenstand eine größere Höhe, aber eine geringere Entfernung. Bei einem flachen Abwurfwinkel ist die Höhe am geringesten, aber die Entfernung ist auch geringer als bei 45° Abwurfwinkel. Alles mit gleicher Wurfstärke.

Nimmt man den Luftwiderstand dazu, wird die Kurve ballistisch.

Hinweis: Da ich hier nicht der Mathematiker bin, könnten die obigen Angaben fehlerhaft sein, bzw. meine Erinnerung ist fehlerhaft. Ich werde aber nochmal "googlen".

Edit: http://de.wikipedia.org/wiki/Wurfparabel

Für die Raumfahrer unter uns dürfte das auch nicht unwichtig sein. Mit mehr Wucht dahinter trotz "ballistischem Nachteil" ab in den Erdorbit.

 

[Diamond]

Interessant ist hierbei, dass die Geschosse für a° und (90-a°) an der gleichen Stelle landen.

 

[Mathe Man]

Für die Raumfahrer unter uns dürfte das auch nicht unwichtig sein. Mit mehr Wucht dahinter trotz "ballistischem Nachteil" ab in den Erdorbit.

Ein stabiler Satellitenorbit ist nichts anderes als ein ballistischer Flug. Du musst nur so schnell sein um ständig an dem umkreisten Objekt vorbei zu fallen. Für LEO-Orbits kommt dann die Reibung mit der Restatmosphäre ins Spiel, welche durch die Reibung mit dem Flugkörper diesen immer weiter ausbremst wodurch er dann immer weiter in eine elliptische Flugbahn gezwungen wird, wobei im tiefsten Punkt der Flugbahn die höchstens Reibungskräfte auftreten, sich aber rein physikalisch Kräfte am stärksten auf die Flugbahn auswirken. Das ist auch der Grund weswegen bei der ISS von Zeit zu Zeit mal die Triebwerke angeworfen werden müssen damit sie nicht abstürzt. Die hat schon einige Reibungsverluste an der Restatmosphäre.

 

[Banger]

...

Stimmt, das haben wir damals auch behandelt, dass beim steilen und flachen Abwurfwinkel die Entfernung unter bestimmter Voraussetzung gleich ist.

 

[Diamond]

Ich dachte ich krieg den Beweis für die 45° auf ein Blatt, war doch etwas länglicher .

 

[Diamond]

Ich habe einen interessanten Link gefunden:
21 GIFs That Explain Mathematical Concepts

 

[Diamond]

Wir alle sind zur Schule gegangen, und haben uns dort mit "der" Geometrie beschäftigt. Die Anführungszeichen sind hier nicht ohne Grund. Denn diese Geometrie ist lediglich eine von vielen: die euklidische Geometrie. Sie ist ziemlich alt, (Euklid lebte circa 300 Jahre vor Christus), und sie ist ein Spezialfall. Ein wichtiger, aber dennoch ein Spezialfall. Eine klassische Aussage ist, dass die Innenwinkel jedes Dreieckes addiert immer 180° ergeben.

Nun, das ist eine Lüge, denn es stimmt nicht für jedes Dreieck. Seht euch mal dieses hier an. Alle Winkel sind 90°, womit die Innenwinkelsumme bei 270° beträgt.

Aber dieses Dreieck ist doch auch Quatsch, oder? Immerhin ist es nicht in einer Ebene! Dies ist aber eine wichtige Lektion in der Mathematik. Jeder Satz, jede Aussage wird aufgrund von bestimmten Annahmen getroffen. Das mag wie Erbsenzählerei klingen, aber zu oft werden diese Annahmen nicht ausreichend beachtet. Das Beispiel ist dennoch wichtig, wenn man sich erinnert, welche Form unser Planet hat.

Und obwohl die euklidische Geometrie lokal und im Kleinen eine (sehr) gute Näherung, stellt einen die Krümmung der Oberfläche im Großen vor einige Herausforderungen. Entsprechend sind alle Weltkarten immer problembehaftet: Ohne Zerren und Stauchen kriegt man die Oberfläche der Kugel nicht in ein Rechteck. Besonders deutlich lässt sich dies an der Antarktis beobachten. Das Problem kann auch jeder zu Hause nachfühlen: Schält eine Orange, aber lasst die Schale in einem Stück. Dann versucht Sie platt zu drücken.

 

[Banger]

Richtig verkrüppelt ist das mit der Karte in Rechteckform.

Apropos verkrüppelt, die Erdform ist nur annähernd eine Kugel. Der Nord-Süd-Durchmesser ist ungefähr 50km geringer als am Äquator. Ein Planet mit perfekter Kugelform müsste daher immer die gleiche Krümmung haben und keine Erhöhungen und Vertiefungen. Aber selbst Gasplaneten kriegen die perfekte Kugelform nicht hin. Die leiden auch unter der Abplattung der Pole. -.- Meines Wissens nach beim Jupiter ca. 10.000km.

 

[Mathe Man]

Das liegt einfach daran das sie rotieren.

Die Kugelform der Planeten ist natürlich auch ein Problem einen Punkt auf der Oberfläche mit einer Koordinaten zu versehen. Das übliche rechteckige Koordinatensystem lässt sich leider nicht über eine Kugel legen, ausser wir wählen ein dreidimensionales Koordinatensystem, was aber für zweidimensionale Kartendarstellungen ein wenig problematisch ist, insbesondere an den Polen.

 

[Diamond]

Man behilft sich deshalb bekanntermaßen indem man Längen- und Breitengrade verwendet. Mit dem Beispiel lässt sich der Begriff der Mannigfaltigkeit motivieren, damit dann natürlich die Wahl verschiedener Koordinatensysteme, sowie Diffeomorphismen, die diese ineinander überführen... und ehe man sich versieht steckt man in der Differentialgeometrie

 

[Banger]

Das liegt einfach daran das sie rotieren.

Richtig. Die Masse wird ja zum Äquator gedrückt. Da kann man den perfekt runden um eine Sonne kreisenden Gasplaneten gleich vergessen.

 

[Diamond]

Habt ihr euch jemals gefragt, warum wir so oft die 12 nutzen, oder auch warum eine Stunde 60 Minuten hat? Das geht auf die Babylonier zurück, die auf eine eher ungewöhnliche Art und Weise zählten. Nehmt dafür eure rechte Hand. Ihr zählt die Fingerglieder an dieser mit Hilfe des Daumens:
Daumen auf dem ersten Fingerglied des Zeigefingers: 1
Daumen auf dem zweiten Fingerglied des Zeigefingers: 2
Daumen auf dem dritten Fingerglied des Zeigefingers: 3
Daumen auf dem ersten Fingerglied des Mittelfingers: 4
Daumen auf dem zweiten Fingerglied des Mittelfingers: 5
Daumen auf dem dritten Fingerglied des Mittelfingers: 6
Daumen auf dem ersten Fingerglied des Ringfingers: 7
und so weiter, und so fort...
Wenn ihr beim letzten Fingerglied des kleinen Fingers angekommen seid, habt ihr 12. Ihr haltet dies mit der linken Hand fest, und beginnt an der rechten erneut zu zählen, bis alle fünf Finger der linken Hand "voll" sind. Dann seid ihr bei fünf Dutzend, oder 60. Hier ein kurzes Video dass die Zählmethode zeigt.

Natürlich kannten die Babylonier noch nicht die Sekunde oder Minute. Aber sie waren wahrscheinlich die Ersten, die zuerst die schönen Eigenschaften dieser Zahl erkannt haben. 60 lässt sich problemlos halbieren, dritteln, vierteln, fünfteln, sechsteln, ... aufgrund seiner Primfaktorzerlegung:
60 = 2 * 2 * 3 * 5
Und darin steckt die Magie ihrer vielfältigen Teilungsmöglichkeiten:

 

[Mathe Man]

Die Basis ist aber schon die zwölf mit ihren besonderen Eigenschaften des Halbieren, Dritteln und Vierteln. Für das Rechnen beim Handeln sehr vorteilhaft das die Division zu der Zeit noch nicht bekannt war und der Handel mit einem Zahlensystem auf Basis der Zahl 12 durchgeführt wurde. Einige Kulturen im arabischen Raum verwendeten aber schon ein Zahlensystem auf Basis der 10 wodurch dann das Zahlensystem auf Basis der 60 für den Handel zwischen den einzelnen Kulturen entstand.

Zur Historie der Zahlensysteme ist auch das Buch Die Geschichte der Null von Robert Kaplan sehr interessant. Sehr gut als Abendlektüre zu lesen.

 

[Diamond]

Die Nachkommastellen von Pie visualisiert:

 

[Diamond]

Spoiler

Mathematics is the abstract study of topics encompassing quantity, structure, space, change, and others. Physics is a natural science that involves the study of matter and its motion through space and time, along with related concepts such as energy and force. They do this using mathematics. Chemistry is the science of matter, especially its chemical reactions, but also its composition, structure and properties. That is, they study a subset of physics, using a subset of physics. Biology is the subset of chemistry that is concerned with the study of life and living organisms, including their structure, function, growth, origin, evolution, distribution, and taxonomy. Psychology is the study of mental functions and behaviors, why living things do what they do individually, which makes it a subset of Biology. Sociology is the study of society, or, the study of groups of people and their interactions, which sounds an awful lot like taking the skills of psychology and applying them.

Taking this logic to the extreme, one can say that a field is 'more pure', and thus matters more, than the fields derived from it. This is a topic often used in jokes between scientists of various fields as to who is more important. The physicist, of which everyone else's work is based upon, feels that he is at the top... but is ultimately upstaged by the mathematician, whose field is so pure that ultimately everything else could be seen as derived from it. After all, physics could not exist without math, thus ultimately everything can be expressed as a mathematical equation. Thus, the mathematician snobbishly says that she didn't even see any of the other fields standing so far over to the right on the graph. Alternatively they are not snobby - they are just so far detached from the real world - that they do not even understand that there could be a comparison between them and other fields. That is if they even know about these other fields!

The title text points out math is all just in your head, only for your own pleasure. Physics involves interactions with other objects. This leads to a comparison between sex (physics) and masturbation (mathematics), implying that physics is the real joy in the world.

Quelle

 

[Zora Graves]

gifs, die die Krümmung von Kurven veranschaulichen

 

[Diamond]

Heute war ich mit ein paar Freunden Karten spielen (Magic: the Gathering). Wir waren zu acht. Man spielt das spiel immer einer gegen einen. Nun die Frage: Wie viele verschiedene Paarungen für die erste Runde gibt es?

 

[Diamond]

 

[Zora Graves]

Wie man einen Kreis abrollt

 

[Pimthida]

@Diamond: Na das wird aber eine ganz schöne Haarspalterei.

 

[Diamond]

 

[Mathe Man]

Ach, die schönen Konvergenzen. $1/n$ konvergiert nicht wenn ich mich recht entsinne $1^{-n}$ schon.

Hat das Forum kein TeX-Plugin? *wech flitz*

 

[Diamond]